Фамилия Мякиньких — один из самых ярких примеров севернорусской модели фамилий на -их/-ых. В отличие от центральной России, где закрепились фамилии на -ов/-ев, в Архангельской, Вологодской, Вятской губерниях и в Сибири (куда переселенцы унесли этот обычай) было принято образовывать фамилии от родительного падежа множественного числа: «из дома Мякиньких» — то есть из семьи Мякинького. Суффикс -их/-ых не склоняется по падежам, и это сразу выдаёт географическое происхождение рода: скорее всего, предки жили на Русском Севере, в Зауралье или среди сибирских старожилов.

Основа фамилии — прозвище Мякинька. В русских говорах «мякина» — это отходы при обмолоте зерна: шелуха, полова, мякина. Человека могли прозвать Мякинькой в переносном смысле. Тут возможны два варианта. Первый — ироничное прозвище нерасторопного, вялого, «пустого» человека (как мякина — не зерно). Второй — профессиональное: крестьянин, который веял зерно, работал с мякиной, либо бедняк, чей хлеб был с большим количеством мякины. В словарях Даля зафиксировано слово «мякинный» в значении «худой, тощий», что тоже могло стать основой для прозвища.

Сравнение с однокоренными фамилиями показывает, насколько редка именно модель на -их. Фамилии Мякин, Мякинин, Мякишев встречаются чаще — они образованы по стандартному для Центральной России типу. А вот Мякиньких — штучный экземпляр. Если встретить такую фамилию в современных справочниках, она почти наверняка укажет на родовое гнездо где-нибудь в бывшей Вятской губернии или в Пермском крае.

Словообразовательная цепочка проста: от нарицательного «мякина» через уменьшительно-уничижительный суффикс -к(а) — Мякинька (смягчение конечного согласного перед суффиксом дало «нь»), затем — форма родительного падежа множественного числа с окончанием -их. Фамилия застыла в этой падежной форме и перестала меняться. Никакого дворянского или книжного происхождения здесь нет: это чисто крестьянская фамилия, возникшая в среде, где человека называли не по отцу, а по прозвищу всей семьи.