Фамилия Нагаивська — редкий случай, когда географическая привязка почти наверняка перевешивает все остальные версии. Её основа — украинский топоним Нагаївка. Таких сёл и хуторов на Западной Украине несколько: во Львовской, Тернопольской, Ровенской областях. Носительница фамилии — почти наверняка потомок человека, который либо родился в Нагаївці, либо владел там землёй. Суффикс -ськ- (в русской передаче -ск-) в украинских фамилиях указывает именно на связь с местом: «тот, кто из Нагаївки». Форма Нагаивська — женская, мужской вариант будет Нагаивський.

Корень «Нагай» в названии села, скорее всего, восходит к тюркскому слову «нагай» — так в XVI–XVII веках называли ногайцев, кочевой народ, чьи отряды доходили до этих земель. То есть первопоселенцы или владельцы местечка могли получить прозвище «Нагай» за смуглость, воинственный нрав или просто по происхождению. Встречается и более прозаичная версия: от древнерусского «нагай» (быстрый, резвый), но для украинской ойконимии она менее характерна.

В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые часто давали по отцу, Нагаивська — типичная «дворянская» или «шляхетская» модель. В Речи Посполитой и на Гетманщине такие фамилии на -ський носили землевладельцы и казацкая старшина, чьи владения назывались по имени основателя. Впрочем, после разделов Польши и в XIX веке эта модель распространилась и среди крестьян: при переписях многим просто записывали фамилию по названию родного села.

Сравните с однокоренными: Нагаев (русский вариант, где «Нагай» — прозвище, а суффикс -ев — «чей сын») и Нагайчук (украинский патроним с суффиксом -чук, означающий «сын Нагая»). Нагаивська стоит особняком: она не про родство, а про место. Если ваши предки носили эту фамилию, ищите их корни в сёлах с названием Нагаївка — скорее всего, на Волыни или Галичине.