Фамилия Нагаи — редкий случай в русском ономастиконе, потому что её происхождение почти наверняка не славянское, а восточное. В исконно русских фамилиях не встречается основа «нага-» в значении «нагой» (голый) с окончанием -и — это противоречило бы модели образования: от прозвища Нагой получились бы Нагов, Нагин или Нагих, но не Нагаи. Поэтому первая и главная версия — японское происхождение.

В японском языке фамилия 永井 (Нагаи) состоит из двух иероглифов: 永 (нага) — «вечный, долгий» и 井 (и) — «колодец». Буквально — «долгий колодец» или «вечный источник». Это одна из распространённых японских фамилий, входит в число ста самых частых в Японии. Носители такой фамилии могли быть потомками самураев, крестьян или ремесленников — иероглифы не указывают на сословие, а только на географический объект (колодец) и его свойство.

Вторая, менее вероятная версия — искусственное происхождение. В советское время при смене фамилий могли образовать Нагаи от прозвища Нагой по модели украинских или белорусских фамилий на -ий (Нагий → Нагаи). Но это единичные случаи, и они не подтверждаются массовой статистикой: фамилия Нагаи в России встречается крайне редко, в основном у людей с азиатскими корнями или в среде потомков смешанных браков.

Морфологически фамилия несклоняемая, что тоже типично для японских заимствований: Нагаи, Нагаи, о Нагаи — форма не меняется. В русском языке её часто произносят с ударением на последний слог (Нага́и), хотя в японском ударение музыкальное и тоническое.

Если ваш предок носил фамилию Нагаи, скорее всего, он был выходцем с Японских островов — либо эмигрантом первой волны начала XX века, либо потомком тех, кто оказался на Дальнем Востоке России после Русско-японской или Второй мировой войны. Второй вариант — фамилия досталась от отца-японца, а мать была русской. В любом случае, это не старорусская фамилия, а след дальневосточных контактов.