Фамилия Нечаэв — редкий случай, когда написание отклонилось от стандартной нормы, и это бросается в глаза. Обычно мы ждём фамилию Нечаев, и именно так она фиксируется в подавляющем большинстве источников. Вариант через «э» — либо результат старой орфографической путаницы (в дореволюционной азбуке буква «ѣ» (ять) в некоторых говорах читалась как «е» или «э»), либо сознательное искажение при записи в метрических книгах, когда писарь на слух передал диалектное произношение. По сути, это та же фамилия, но с графическим курьёзом.

Основа фамилии — некалендарное имя Нечай, которое в Древней Руси давали ребёнку, родившемуся «нежданно-негаданно», то есть вопреки ожиданиям родителей. В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» такие имена отнесены к группе «оберегов»: считалось, что имя Нечай отведёт от младенца внимание злых сил. Прозвище было распространённым, и от него образовалась целая россыпь фамилий: Нечаев, Нечаевский, Нечайкин. Вариант Нечаэв стоит в том же ряду, но с редким орфографическим отличием.

Суффикс -ев указывает на притяжательную модель: «чей?» — «Нечаев», то есть сын Нечая. Такая модель была типична для нецерковных имён и прозвищ в XV–XVII веках, когда формировался основной костяк русских фамилий. Социальный состав носителей был пёстрым: Нечаевы встречаются и среди крестьян, и среди дворян (например, известный род Нечаевых, владевший усадьбой Полибино). Но конкретно форма Нечаэв, скорее всего, закрепилась в какой-то локальной группе, возможно, на севере или в Поволжье, где «е» в безударной позиции редуцировалось до «э» и так записывалось.

С точки зрения словообразования, фамилия прозрачна: корень неч- (от «не чаять», то есть не ждать), суффикс -ай (как в именах Молчай, Смеляй), затем фамильный суффикс -ев. Никаких экзотических тюркских или финно-угорских корней здесь нет — это чисто славянская модель, построенная на бытовом прозвище. Если ваша фамилия пишется именно через «э», это не ошибка, а исторический след: так когда-то услышали и записали вашего предка.