Фамилия Нечмирёва — женская форма фамилии Нечмирёв, и её происхождение стоит искать в мужском прозвище Нечмир. Слово «чмир» в русских говорах имело значение «гнусный, жалкий человек» или «скряга». Отрицательная частица «не» в сочетании с такой основой могла дать прозвище с противоположным смыслом: Нечмир — тот, кто не является чмиром, то есть не скупой, не ничтожный. Однако в ономастике подобные конструкции часто работают как «отрицание недостатка» — имя-оберег, которое должно было уберечь носителя от порока, названного в корне.

Словообразовательная модель здесь нестандартна. Суффикс -ёв в фамилии Нечмирёв (а не более привычное -ов) указывает на то, что основа прозвища заканчивалась на мягкий согласный или шипящий. В говорах слово «чмир» могло произноситься как «чмирь» — отсюда и написание через «ё». Фамилии на -ёв в русской ономастике встречаются реже, чем на -ов, и часто привязаны к северным и центральным регионам России, где мягкость конечного согласного сохранялась в народной речи.

Версия о происхождении от тюркского или финно-угорского корня маловероятна: слово «чмир» фиксируется в словаре русских народных говоров, и его семантика прозрачна. Фамилия редкая, в дореволюционных метрических книгах встречается в основном на территории бывшей Вятской губернии и в Пермском крае. Это косвенно подтверждает, что прозвище бытовало в среде крестьян и посадских людей, а не в дворянских кругах.

Написание через букву «ё» в фамилии Нечмирёва — не орфографическая ошибка, а историческая норма. В советское время при паспортизации многих фамилий «ё» заменили на «е», поэтому в современных документах можно встретить вариант Нечмирева, но исходная форма восстанавливается по ударению и по аналогии с другими фамилиями на -ёв (например, Шахматов — Шахматёв). Если вы носитель этой фамилии, её редкий суффикс — прямое указание на то, что ваши предки жили в зоне северных или вятских говоров, а само прозвище, скорее всего, давали человеку, который выделялся щедростью или честностью на фоне окружающих.