Фамилия Недай — один из тех редких случаев, когда прозвище застыло в повелительном наклонении, не обрастая суффиксами. В русских фамилиях такой тип встречается нечасто, и он почти всегда указывает на конкретную, часто ироничную, ситуацию, закреплённую за человеком.

Основа здесь — глагол «дать» с отрицательной частицей «не». Прозвище Недай могли дать человеку скупому, прижимистому, который неохотно делился добром или отказывал в помощи. В диалектах «недай» звучало и как укор скряге, и как насмешка над тем, кто постоянно твердил «не дам». Однако есть и вторая, менее очевидная версия: в древнерусской антропонимии существовали охранительные имена-обереги. Назвав ребёнка Недаем, родители как бы «обманывали» злых духов, показывая, что дитя им не отдадут, оно нежеланное — и потому его не заберут. Такая практика известна у славян: имена Некрас, Немил, Неждан работали по тому же принципу.

Словообразовательная модель фамилии предельно проста: усечённая основа без суффикса. Фамилия не склонялась по падежам как типичные русские фамилии на -ов/-ин, что указывает на её позднее закрепление в форме чистого прозвища. По этой причине географию бытования определить сложно — в документах XVI–XVII веков прозвище Недай встречается спорадически, но не образует гнёзд в одном регионе. В современных телефонных справочниках фамилия редка, чаще фиксируется на юге России и в восточной Украине, где диалектное «недай» сохранялось дольше.

Интересно, что фамилия Недай стоит в одном ряду с однокоренными Недашковский, Недашковский (где суффикс -овск- уже притягивает фамилию к польско-украинской модели), а также с более прозрачными Недайвода, Недайхлеб — сложными прозвищами, рисующими бытовую сцену. Недай же лаконичнее: он не объясняет, чего именно не давали, оставляя простор для догадок — то ли денег, то ли согласия, то ли просто слова.