Фамилия Недвижай — редкий случай, когда прозвище застыло в форме, почти не изменившейся за столетия. В её основе — глагол «недвижать» или прилагательное «недвижий», то есть неподвижный, медлительный, вялый. В старых говорах слово «недвига» означало тугодума, ленивого или флегматичного человека, которого трудно сдвинуть с места — ни в прямом, ни в переносном смысле. Так что первый носитель прозвища Недвижай, скорее всего, получил его за медлительность или спокойный, невозмутимый нрав.

Обратите внимание на суффикс -ай. В русских фамилиях он встречается нечасто — чаще всего в прозвищах, образованных от глаголов: Ломай, Стреляй, Шугай. Модель типична для северных и центральных регионов России, где такие прозвища давали по яркой поведенческой черте. Фамилия Недвижай могла закрепиться в форме «прозвище в именительном падеже» без дополнительных суффиксов -ов или -ин, что тоже указывает на её раннее бытование в крестьянской среде.

Интересно, что в отличие от однокоренных фамилий Недвигов, Недвигин или Недвига, вариант Недвижай сохранил глагольный оттенок. Если Недвига — это просто «неподвижный человек», то Недвижай звучит как приказ или характеристика действия: «тот, кто не двигается». Встречается фамилия преимущественно в южнорусских областях, особенно в бывшей Области Войска Донского и на Кубани, где любили прозвища с экспрессивным суффиксом.

В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» модель на -ай упоминается как одна из древних, но не получившая широкого распространения в фамилиях дворянского сословия. Недвижай — типично крестьянская или казачья фамилия, где прозвище перешло в наследственное имя без изменений. Никакой связи с «недвижимостью» тут нет: народная этимология часто путает корни, но «движимое» и «недвижимое» имущество — книжные термины, а не бытовые прозвища.