Фамилия Недявко — редкий случай, когда корень почти не скрыт, но при этом легко спутать два совершенно разных слова. Основа здесь — «недявк», и первое, что приходит в голову, это связь с глаголом «дявкать» (или «дявкнуть»). В южнорусских и украинских говорах «дявкать» означало «тявкать», «лаять» (о собаке) или, в переносном смысле, «огрызаться», «браниться». Соответственно, Недявко — это человек, который «не дявкает», то есть молчун, спокойный или даже угрюмый, не склонный к пустым ссорам. Прозвище давали по характеру: в отличие от соседа-крикуна, его обладатель был тих и незлобив.

Однако есть и вторая версия, не менее правдоподобная. В тех же говорах слово «дявко» (или «дявка») могло быть диалектным вариантом имени «Демьян» или «Давыд» — через чередование звуков и редукцию. Тогда «Недявко» — это «не Демьян» или «не Давыд», то есть прозвище, данное по контрасту с кем-то из родни или односельчан. Например, в семье было два брата: один Демьян, а второго, чтобы не путать, прозвали Недявко — «не тот, другой Демьян». Со временем прозвище закрепилось как фамилия.

Суффикс -ко типичен для украинской и белорусской ономастики: он образует фамилии от прозвищ, имён и характеристик (ср. Зайко, Малко, Грицько). Фамилия Недявко — не патронимическая (не от имени отца), а именно прозвищная, что указывает на её происхождение в среде крестьян или казаков, где прозвища давали метко и на века.

Географически фамилия тяготеет к западу и югу России, а также к востоку Украины — регионам, где бытовало слово «дявкать». Встречается она редко, и в старых переписях (например, в ревизских сказках XIX века) её почти не найти: носители, скорее всего, были малоземельными крестьянами или однодворцами. В словарях фамилия не зафиксирована, но по словообразовательной модели она безупречна.

Таким образом, предки Недявко — либо люди с тихим нравом, либо те, кого в шутку отделили от более именитого родственника. Первая версия (от «не дявкать») кажется более прямой и живой, вторая — более осторожной, но обе не противоречат народной логике.