Фамилия Немытышев — редкий случай, когда прозвище не просто дали человеку, а превратили в фамилию, сохранив всю его выразительность. В основе лежит прилагательное «немытый» — то есть нечистый, грязный, неопрятный. В старину такое прозвище могли дать человеку, который не следил за собой, редко мылся, ходил в грязной одежде. Прямое, бытовое, без метафор — и очень характерное для русской ономастики, не боявшейся резких определений.

Теперь о том, как из прозвища выросла фамилия. Модель образования здесь стандартная для центральной России: суффикс -ев (фонетический вариант -ов после мягкого согласного) и окончание -∅. К основе «Немытыш» добавили -ев, получив «Немытышев». А что такое «Немытыш»? Это уменьшительно-уничижительная форма от «немытый». Суффикс -ыш в русских прозвищах часто придаёт оттенок пренебрежения или уменьшительности (сравните: «голыш», «малыш», «крепыш»). То есть Немытыш — это не просто «немытый», а «немытик», «грязнуля», и это прозвище, скорее всего, закрепилось за конкретным человеком, а затем перешло к его потомкам.

Географически фамилия тяготеет к северо-западу России. Встречается в Псковской, Новгородской, Ленинградской областях, реже — в Вологодской и Тверской. Это не случайно: в новгородских землях прозвища с суффиксом -ыш были особенно распространены, а фамилии на -ев там закреплялись в XV–XVII веках. Социально Немытышевы, скорее всего, происходят из крестьян или посадских людей — в дворянской среде такие прозвища не приживались.

Интересно, что у фамилии есть «двойник» — Немытов. Она образована от той же основы, но без суффикса -ыш, то есть напрямую от прозвища «Немыт» или «Немытый». Немытышев — форма более редкая и, вероятно, более старая, сохранившая архаичную словообразовательную модель. Если Немытов мог возникнуть в любом регионе, то Немытышев чётко указывает на северо-западное происхождение.

Встречается и вариант написания через «о» — Немытошев, но он единичен и, скорее всего, результат диалектного произношения (аканье, замена «ы» на «о» в безударной позиции). Основная и единственно верная форма — Немытышев.