Фамилия Неште — редкий пример, когда суффикс и основа слились воедино, и разобрать их на части без оговорок не получается. Скорее всего, перед нами украинская или южнорусская фамилия, образованная от прозвища Нешта. В диалектах XIX века «нешта» — это нечто, что-то, иногда с оттенком пренебрежения: «невесть что». Человек мог получить такое прозвище за рассеянность, необычный внешний вид или за то, что занимался мелочной, несерьёзной работой. В украинском языке «не́шта» также означает «нечто», и там же встречается форма «ні́шта» с тем же смыслом. Менее вероятна связь с литовским nešti («нести») или немецким Nest («гнездо») — для этого нужны документальные подтверждения миграции носителей, которых в открытых источниках нет.

Обратите внимание на окончание: у фамилии нет типичного русского суффикса принадлежности (-ов, -ев, -ин). Форма Неште — это чистая основа, что характерно для украинских фамилий на -а, -о, -е (например, Швець, Лисенко, Нешта). В русской среде такую фамилию могли записать как Нештев, но в документах закрепился именно исходный вариант. Встречается фамилия преимущественно на юге России — в Ростовской области, Краснодарском крае, а также на Украине (Черниговщина, Полтавщина).

По сословной принадлежности предки, скорее всего, были крестьянами или казаками. Фамилия недворянская, без приставки и суффикса -ский, что указывает на происхождение из простонародья. Загляните в метрические книги или ревизские сказки по этим регионам — там фамилия может встречаться в форме Нешта, а Неште — это её застывшая косвенная форма (как у украинских фамилий вроде Голове, Пономаренке).

Есть и другая, более спорная гипотеза: фамилия могла возникнуть как прозвище человека, который часто говорил «нешто» (в значении «разве», «неужели»), но это характерно для северных говоров, а география фамилии — южная, что делает эту версию маловероятной.