Фамилия Неведрина — женская форма от Неведрин, и строится она по простой, но не самой частотной модели: суффикс -ин указывает на принадлежность («чей?»), то есть Неведрин — сын или потомок человека по прозвищу Неведра. Основа здесь — неведра, слово с прозрачной внутренней формой: «не ведра». Что могло означать такое прозвище, сказать непросто, потому что в старых говорах оно не зафиксировано как нарицательное. Но логика подсказывает: так могли назвать человека не по размеру ведра, а по его отсутствию — того, у кого не было ведра как важного хозяйственного инструмента. В крестьянском быту ведро — вещь первой необходимости, и прозвище Неведра могло закрепиться за бедняком или за тем, кто ходил по воду с чужой посудой.

Вторая версия, правдоподобная, но менее очевидная: связь с глаголом «ведать» (знать). В диалектах встречается форма «неведа» — незнающий, несведущий человек. Если допустить, что исходное прозвище звучало как Неведа, то суффикс -р- мог появиться по аналогии с другими прозвищами (ср. Невежа — Невеждин, где -ж- и -д- чередуются). Однако для Неведра такое объяснение требует дополнительных допущений, и версия с ведром выглядит проще и естественнее.

Суффикс -ин в фамилии Неведрин — типичный для северных и центральных русских земель, где фамилии на -ин образуются от основ на -а/-я. Географически фамилия редкая, встречается точечно в Вологодской и Кировской областях, а также на Урале — в тех краях, где хорошо сохранились старые прозвищные модели. В дворянских родословных книгах Неведрины не значатся, сословно это почти наверняка крестьянская или мещанская фамилия, возникшая в среде, где прозвище давали по бытовой примете.

Сравнение с однокоренными фамилиями — Ведрин, Ведров — показывает, что корень «ведр» в русских фамилиях обычно отсылает к ведру (ёмкости), а не к ведению. Так что Неведрин, скорее всего, «сын того, у кого нет ведра». Прямого значения в современном языке у слова нет, но за ним стоит конкретная картина: человек без ведра в деревне, где каждый двор имел свой набор утвари.