Фамилия Ниежмаков — редкий случай, когда написание почти полностью скрывает исходное слово. Первое, что бросается в глаза: буквосочетание «ие» в начале нехарактерно для исконно русских фамилий. Скорее всего, перед нами фонетическая запись фамилии, образованной от прозвища или имени с корнем «неж» или «нежа».

Вероятнее всего, основа — диалектное или старинное слово «нежмак». В русских говорах «нежмак» — это изнеженный, избалованный человек, «неженка». Суффикс -ак (-як) в прозвищах указывает на носителя признака: «нежа» → «нежмак» — тот, кто любит нежиться, мягкотелый. Фамилия образована по стандартной модели: прозвище Нежмак + притяжательный суффикс -ов, то есть «сын Нежмака». Написание через «и» (Ниежмаков вместо Нежмаков) — результат аканья или просто неграмотной записи в документах XIX — начала XX века, когда фамилию записывали на слух: «Ниежмаков» — это как раз то, как слышалось «Нежмаков» в говорах с сильным иканьем.

Менее вероятная, но всё же возможная версия — связь с тюркским или кавказским корнем. В некоторых языках есть звукосочетание «ниеж» (например, от ногайского «ниез» — копьё), но фамилия с суффиксом -ов и русским окончанием указывает на обрусение исходной формы. Однако никаких надёжных параллелей для тюркской этимологии нет, и версия с «неженкой» остаётся основной.

Географически фамилия тяготеет к южнорусским и, возможно, украинским областям, где аканье и иканье сильнее всего искажали написание. В современных справочниках Ниежмаков встречается единично — это не массовая фамилия, а скорее локальная, сохранившаяся в нескольких семьях. Если ваши предки носили её, то, скорее всего, родоначальник получил прозвище Нежмак за мягкий характер или избалованность, а при переписи фамилию записали так, как услышали, — с «и» в начале.