Фамилия Объедкова — одна из тех редких русских фамилий, где написание говорит о произношении больше, чем хотелось бы. Твёрдый знак в корне — не ошибка и не опечатка, а историческая фиксация звука: в старых говорах и до реформы орфографии 1918 года «ъ» писали не только на конце слов, но и внутри, чтобы показать, что предшествующая согласная произносится твёрдо, без смягчения. В фамилии Объедкова этот знак сохранил раздельное произношение «б» и «е» — то есть не «Обьедкова», а именно «Об-йедкова», с твёрдым взрывным звуком.

Основа фамилии — прозвище Объедок. В русских диалектах «объедок» означало не только то, что осталось после еды (огрызок, недоеденный кусок), но и, в переносном смысле, человека, который объедает других — нахлебника, приживала, того, кто живёт за чужой счёт. Прозвище могли дать не обязательно с осуждением: в крестьянской среде так могли назвать младшего сына, который остался без своего надела и кормился в доме брата, или просто бедного родственника. Реже — того, кто сам любил плотно поесть, «объедался».

Суффикс -ов- указывает на типичную модель образования русских фамилий: Объедок → Объедков → Объедкова (женская форма). Такие фамилии закрепились в XV–XVII веках, когда прозвище отца переходило к детям в притяжательной форме («чей сын?» — «Объедков»). Встречается также вариант Объедкин (от «Объедка»), но он редок.

Географически фамилия тяготеет к северным и центральным областям России — Вологодской, Костромской, Ярославской, где диалектное слово «объедок» в значении «нахлебник» было в ходу. В документах XVII века встречаются крестьяне Объедковы из-под Устюга, но массовых списков нет — фамилия всегда была немногочисленной.

Современное написание с твёрдым знаком создаёт проблемы при заполнении документов и поиске в базах данных: компьютеры часто воспринимают «ъ» как служебный символ. Поэтому в быту фамилию иногда пишут как Объедкова (через «е»), что стирает историческую особенность произношения. Если вы носитель именно такого написания — с «ъ», — то у вас редкий случай, когда орфография сохранила живую фонетику XVII века.