Фамилия Палашевская — типичный пример того, как географическое название превращается в родовое имя. Её основа — топоним Палашево или Палашевка. Таких деревень и сёл в России несколько, особенно в центральных и северных губерниях. Владелец земли из Палашева или выходец оттуда получал прозвание «Палашевский», а его жена или дочь — «Палашевская». Именно по женской линии фамилия и закрепилась: сначала как отчество жены («она из рода Палашевских»), потом как самостоятельная фамилия для потомков.

Разбираем корень. «Палаш» — это не только холодное оружие (прямой длинный меч), но и диалектное слово. В некоторых говорах «палаш» означало «дубина», «колотушка» или даже «неповоротливый человек». Однако для фамилии Палашевская версия с оружием менее вероятна: прозвище Палаш могло дать начало фамилии Палашов или Палашев, но не Палашевский. Суффикс -ск- указывает на принадлежность к местности или дворянскому роду, а не на прямое прозвище. Поэтому первичным, скорее всего, было название поселения, а уже от него — фамилия.

Интересная деталь: форма на -ская (а не -ский) указывает, что фамилия прошла через женский род. В крестьянской среде до отмены крепостного права женщину могли записать по мужу или отцу с окончанием -ская, и это написание иногда закреплялось за всей семьёй. В дворянских родах такое тоже встречалось, но реже — там обычно использовали мужскую форму.

Ономастический словарь Б. Унбегауна относит фамилии на -ский/-ская к числу «географических»: они образовывались от названий имений, городов и деревень. Палашевская стоит в одном ряду с Вяземской, Трубецкой, Шереметевской — разница лишь в том, что её основа не столичная, а провинциальная. Сословно носители могли быть как дворянами (владельцы сельца Палашево), так и крестьянами, которых переписали по месту жительства.

География бытования фамилии сегодня — преимущественно западные и центральные области России, а также Беларусь и Украина. Встречаемость невысокая, что подтверждает её происхождение от конкретного, а не массового топонима. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит поискать на картах XIX века Палашево в Тверской, Смоленской или Могилёвской губерниях — скорее всего, оттуда и пошёл род.