Фамилия Палешкина, скорее всего, образована от прозвища или нецерковного имени Палешка. Это уменьшительная форма от слов «палый» или «палить». Основное значение здесь — «тот, кто палит, жжёт». В русских говорах «палить» означало не только сжигать, но и быстро бежать, а также стрелять из ружья. Прозвище Палешка могли дать человеку, который работал с огнём: выжигал уголь, обжигал кирпичи или был стрелком. Менее вероятная, но возможная версия — от слова «палый» (павший, упавший), но тогда форма скорее была бы Палышкин.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Палешкин — сын или потомок Палешки. Такая модель типична для северных и центральных регионов России, где фамилии на -ин образовывались от имён и прозвищ, оканчивающихся на -а, -я. В отличие от более южных фамилий на -ов, -ев, здесь сохранилась древняя притяжательная форма.

Редкость фамилии Палешкина (и её мужского варианта Палешкин) говорит о том, что исходное прозвище не было широко распространено. Встречается она преимущественно в Поволжье и на Урале, что косвенно подтверждает связь с промыслами: выжигание угля и обжиг керамики были характерны для лесных зон этих регионов. Сравните с однокоренными фамилиями Палкин, Пальчиков, Пальцев — у них совсем другая основа (от слова «палка» или «палец»), так что путать не стоит.

Таким образом, предок носительницы фамилии Палешкина с большой вероятностью занимался делом, связанным с огнём, или получил прозвище за резвость и быстроту.