Фамилия Паремузова — редкий случай, когда основа слова не поддаётся однозначному истолкованию с ходу. В ней нет ни очевидного профессионального корня (вроде кузнец или мельник), ни распространённого уменьшительного имени. Первое, что бросается в глаза, — суффикс -ов-, указывающий на принадлежность: Паремузова — это «дочь (или жена) Паремузова», а мужская форма — Паремузов. Значит, предок носителя фамилии носил прозвище или личное имя Паремуз.

Самая вероятная версия ведёт к диалектному слову «паремуз» или «паремуха». В северных и сибирских говорах так называли нерасторопного, медлительного человека, иногда — простофилю. Слово явно не литературное, а местное, что сразу сужает географию фамилии: скорее всего, её корни — в Архангельской, Вологодской губерниях или в бывших землях коми-зырян, где такие диалектизмы бытовали. Прозвище давали по характеру: «Эх ты, паремуз!» — говорили тому, кто копается или не понимает с первого раза.

Менее убедительная, но возможная версия — искажённое финно-угорское имя. В языках коми встречаются основы «пар» (парень, мальчик) и «муз» (земля, почва), но сложить их в осмысленное прозвище сложно. Скорее всего, перед нами чисто русское диалектное образование, которое со временем закрепилось как фамилия. В пользу этого говорит и суффикс -ов-, типичный для русских фамилий, образованных от прозвищ, а не от крестильных имён.

В написании фамилии стоит обратить внимание на ударение. В большинстве случаев оно падает на последний слог: Паремузо́ва. Если же носитель произносит с ударением на «у» (Парему́зова), это может указывать на более южный или западный вариант произношения, но документальных подтверждений такой норме нет. Фамилия очень редкая: в современных базах данных она встречается единично, в основном на севере Европейской России и в Зауралье.