Фамилия Пархомекно — это случай, когда написание подсказывает больше, чем звучание. Перед нами не типичная русская модель на -ов или -ин, а украинская фамилия с суффиксом -енко. В украинской ономастике -енко означает «сын» или «потомок», так что Пархомекно — это буквально «сын Пархома».

Основа фамилии — каноническое имя Пархом. Это народная, обиходная форма церковного имени Парфений (от греческого «парфенос» — девственник, чистый). В русской и украинской среде имя Парфений часто сокращалось до Пархом, и от этой краткой формы пошли многие фамилии: Пархомов, Пархоменко, Пархомчук. Ваш вариант с суффиксом -екно, а не -енко, — это не ошибка, а диалектная или фонетическая особенность. В некоторых говорах, особенно на западе и в центре Украины, суффикс могли произносить смягчённо или записывать на слух как -екно. Встречаются также написания Пархоменко, Пархоменко, но Пархомекно — более редкий, локальный вариант.

Географически фамилия Пархомекно почти не встречается за пределами Украины. Наиболее вероятные области бытования — Полтавская, Черкасская, Киевская, то есть земли, где фамилии на -енко исторически доминировали. В дореволюционных ревизских сказках и метрических книгах эта фамилия могла записываться по-разному в зависимости от грамотности писаря: Пархоменко, Пархоменко, Пархомекно. Вариант с «к» — это либо результат аканья (когда «е» после мягкого согласного звучало как «и» и переходило в «к»), либо местная диалектная черта.

В социальном плане носители фамилии Пархомекно почти наверняка были крестьянами или казаками. Фамилии на -енко в XVII–XVIII веках массово закреплялись за реестровыми казаками и свободными крестьянами Гетманщины. Дворянских родов с таким окончанием практически не было — это маркер непривилегированного сословия. Так что предки человека с фамилией Пархомекно, скорее всего, были простыми людьми, чей родоначальник носил имя Пархом.

Сравните с однокоренными фамилиями: Пархоменко — самая частая, Пархомов — русский вариант с суффиксом принадлежности, Пархомчук — западноукраинский вариант с суффиксом -ук/-чук. Ваша фамилия стоит особняком именно из-за редкого написания, что делает её ценной для генеалогического поиска: такое написание может указать на конкретную местность или даже на одну семью, где закрепилась эта форма.