Фамилия Перкатая — редкий случай, когда в основе лежит не имя, не ремесло и не географическое название, а глагольная форма. Корень здесь — «перкать», диалектное слово, которое в русских говорах (особенно южных и рязанских) означало «бить, колотить, хлестать». Человек с прозвищем Перкатый — тот, кто «перкает», то есть бьёт, возможно, драчун или человек с резким, напористым характером. Форма на -ая — типичное окончание прилагательного женского рода в именительном падеже, что сразу указывает: перед нами не мужская фамилия, а фамилия женщины или девичья фамилия, которая закрепилась в документах именно в такой огласовке.

Модель образования нестандартна. Обычно русские фамилии на -ая образуются от прилагательных (Белая, Кривая) или от названий мест (Заречная, Подгорная). Здесь же — отглагольное прилагательное с суффиксальным элементом -т-, как в словах «битый», «мятый». То есть Перкатая — это буквально «битая» или «та, которую бьют»? Но логика прозвищ в крестьянской среде чаще активная: прозвище давали по действию самого человека, а не по страданию. Поэтому правдоподобнее, что прозвище Перкатый (в мужском роде) означало «забияка», «тот, кто перкает», а фамилия Перкатая — это уже «жена Перкатого» или «дочь Перкатого» в записи по отцу.

Географически фамилия тяготеет к южнорусским областям и, возможно, к украинскому пограничью. В украинском языке есть слово «перкати» — «бить, лупить», что подтверждает диалектную природу корня. Встречаются варианты написания: Перкатый (мужской вариант) и Перкатая (женский). В современных справочниках фамилия нечастотна, её нет в списках самых распространённых, что говорит о локальном бытовании — скорее всего, в одной или нескольких деревнях, где прозвище дали одному человеку, а потом оно перешло к потомкам.

Интересно, что фамилия обошлась без типичных суффиксов -ов, -ин, -ский. Это архаичная модель, характерная для прозвищ, которые «застыли» в форме прилагательного без дополнительного оформления. Такие фамилии часто встречаются у казаков и в южнорусском крестьянстве, где документальная фиксация была менее формальной, чем в центральных губерниях. Если ваш предок носил фамилию Перкатая, он, скорее всего, происходил из среды, где ценили точное и ёмкое прозвище, а не книжное имя.