Фамилия Песочинская образована от названия населённого пункта — типичная «географическая» фамилия для дворянства и духовенства, но не только. Основа здесь — топоним Песочин или Песочино, а таких в России и на Украине несколько: село Песочин под Харьковом (ныне часть города), деревни Песочино в Тверской, Калужской и других областях. Суффикс -ск- указывает на связь с местом, а окончание -ая — женская форма; мужской вариант, соответственно, Песочинский.

Сам топоним восходит к слову «песок» — скорее всего, поселение стояло на песчаной почве, у песчаного берега реки или оврага. В ономастике это частый случай: фамилии на -ский/-цкий в XVIII–XIX веках активно присваивали в духовных семинариях — выпускникам меняли бытовые фамилии на «благозвучные» по названию села или прихода. Поэтому Песочинский мог быть и семинарской фамилией священника, родившегося или служившего в Песочине. Но тот же суффикс встречается и у польской шляхты (Песочинские герба Лелива или Правдзиц), и у русских дворян, получивших имение с таким названием.

Женская форма Песочинская — это либо жена, либо дочь Песочинского, либо, в редких случаях, самостоятельное образование от названия деревни (например, «она из Песочина»). В современной России фамилия встречается нечасто, в основном в центральных и южных регионах, а также в украинском Харькове. Ударение, судя по произносительной норме, падает на второй слог: Песо́чинская.

Любопытная деталь: в старых метрических книгах можно встретить двойные написания — Песочинский и Песоцкий. Второе — сокращённый вариант от того же корня (ср. Городецкий от Городец). Если предки вашей семьи были из духовного сословия, то фамилия почти наверняка «семинарская», то есть искусственная, книжная. Если из крестьян или мещан — скорее прозвищная по месту жительства, но тогда форма была бы не -ский, а Песочин или Песочинов — так что вариант с -ский выдаёт более высокий социальный слой.