Фамилия Побережникова — женская форма фамилии Побережников. В основе лежит прозвище Побережник. В русских говорах «побережник» — это житель побережья, тот, кто живёт у реки, озера или моря. Прозвище давали не просто по месту жительства, а по роду занятий, связанному с водой: рыболову, лодочнику, перевозчику или работнику на пристани. В некоторых регионах «побережником» называли также бродягу, который держится берега, — но это значение встречается реже и, скорее всего, не стало основным для фамилии.

Суффикс -ник- в основе указывает на лицо по признаку места или занятия (сравните: подорожник — придорожный, полевник — живущий в поле). Окончание -ов- — типичный патронимический суффикс, образующий фамилии от прозвищ и названий профессий. Таким образом, Побережников — буквально «сын Побережника» или «потомок того, кто жил на берегу». Модель образования стандартная для русских фамилий, но основа не слишком распространённая, что придаёт фамилии локальный колорит.

Географически фамилия Побережников чаще всего встречается в северных и центральных регионах России, особенно в бассейне Волги и на Урале — там, где реки были главными транспортными артериями, а рыболовство — важным промыслом. Встречаются и варианты написания с одной «н» (Побережиков), но они редки и, вероятно, возникли из-за ошибок в документах.

Сравните с однокоренными фамилиями: Бережников (от «бережник» — живущий на берегу), Забережников (от «забережье» — пространство у берега). Побережников отличается приставкой «по-», которая в данном случае означает «вдоль, по направлению»: побережник — тот, кто ходит или живёт вдоль берега. Это уточнение сужает круг возможных предков: скорее всего, это были не просто жители побережья, а люди, чья жизнь и работа были неразрывно связаны именно с береговой линией — рыбаки, лодочники, паромщики.

Если говорить о социальном контексте, то Побережниковы в подавляющем большинстве — крестьянского или мещанского происхождения. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано. В переписях XVII–XVIII веков носители фамилии встречаются среди государственных крестьян и посадских людей, живших на берегах крупных рек. Так что, скорее всего, ваш предок был человеком, для которого вода и берег были и домом, и работой.