Фамилия Побежмиов — редкий случай, когда глагольная основа сохранилась почти без изменений. В ней легко угадывается повелительное наклонение «побежми» (от «побежать»), за которым следует типичный русский фамильный суффикс -ов. Такая модель образования — «глагол в императиве + -ов» — встречается нечасто, но известна по фамилиям вроде Убедилов, Стучишин, Жгилёв. Обычно за ней стоит прозвище: Побежми — человек, которому часто кричали «побежми!», то есть скорый на ногу, посыльный или, наоборот, тот, кто постоянно куда-то торопился. В быту такое прозвище могло закрепиться за расторопным работником или за беглым крестьянином, хотя вторая версия менее вероятна — прозвища давали по заметной черте поведения, а не по биографии.

Фамилия явно недворянская, без приставок и суффиксов, указывающих на принадлежность к высшим сословиям. Скорее всего, она возникла в среде крестьян или посадских людей на территории северных или центральных великорусских говоров, где форма «побежми» (с ударением на последний слог) была естественной. В современной России фамилия встречается редко, что подтверждает её локальное происхождение — возможно, от одного прозвища в конкретной деревне.

Интересно, что основа «беж-» (от «бежать») дала несколько фамилий: Бежаев, Бежин, Побегайлов, но Побежмиов стоит особняком из-за сохранения глагольного окончания. В словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна) эта модель описана как характерная для прозвищ-команд, но Побежмиов — не «команда», а скорее застывшая реплика, обращённая к предку. Если у вас эта фамилия, вы носите редкий лингвистический артефакт — живую разговорную форму XVII–XVIII веков, превращённую в родовое имя.