Фамилия Побичаева образована от мужского имени или прозвища Побичай. Словообразовательная модель здесь не самая частая: суффикс -аев указывает на притяжательное значение («чей?» — Побичаев). В русских фамилиях этот суффикс обычно присоединялся к основам на -ай, -ей: Побичай → Побичаев. Женская форма Побичаева — это вариант по мужской линии, как и в подавляющем большинстве русских фамилий.

Корень «поби-» напрямую связан с глаголом «побить». В древнерусском языке и диалектах «побить» имело много оттенков: от «нанести побои» до «одолеть в споре» или «побить рекорд». Прозвище Побичай могли дать человеку драчливому, задиристому, либо тому, кто часто выходил победителем из стычек — например, в кулачных боях или на торгах. В некоторых говорах «побичаем» называли бойкого, напористого парня.

Интересна и менее очевидная версия: в северных и сибирских говорах «побить» означало «сбить с толку, обмануть». Тогда Побичай — это хитрец, ловкач. Встречается и значение «побить» в смысле «износить, истрепать» (побить одежду), но для прозвища это маловероятно.

География фамилии Побичаева сегодня довольно узкая. По данным открытых источников, основные носители сосредоточены в Поволжье и на Урале, особенно в Пермском крае и Кировской области. Это согласуется с тем, что прозвища на -ай (Побичай, Болтай, Молчай) типичны для севернорусских и вятских говоров. Фамилия не дворянская и не купеческая — скорее всего, она возникла в крестьянской или посадской среде не позднее XVII–XVIII веков, когда прозвища активно превращались в наследственные фамилии.

Редкость фамилии Побичаева объясняется тем, что основа «поби-» не была продуктивной в именослове. Сравните с более частыми однокоренными: Побирухин (от «побираться»), Побивайлов (от «побивать»). Побичаев стоит особняком — у него нет суффикса деятеля (-тель, -ун, -ак), а есть краткая форма на -ай, что делает фамилию более архаичной и диалектной.