Фамилия Побирашко звучит необычно и сразу вызывает вопрос: от какого слова она образована? Самая прямая и очевидная версия — от глагола «побирать», то есть просить милостыню, собирать подаяние. В украинском и южнорусском говорах слово «побиратися» означало «нищенствовать, ходить по миру». Соответственно, Побирашко — это человек, который побирается, нищий. Однако в фамилиях редко закрепляли прямое прозвище по роду занятий в унизительной форме. Скорее всего, прозвище Побирай, Побирач или Побирашка давали не самому нищему, а тому, кто был вынужден часто просить взаймы, или, напротив, человеку, который «собирал» что-то по мелочам — например, грибы, ягоды или оставшийся после жатвы колос (это называлось «побирать колосья»).

Суффикс -ко типичен для украинских и белорусских фамилий, он указывает на уменьшительность или принадлежность к роду. В данном случае основа «Побираш-» могла быть усечением от Побирашка (от «побирашка» — нищий, попрошайка). Фамилии на -ко чаще всего встречаются на Левобережной Украине, в Полтавской, Черниговской, Харьковской областях. Поэтому Побирашко — это, скорее всего, фамилия украинского происхождения, закрепившаяся за потомками человека, которого в быту звали Побирашкой.

Есть и более редкая версия: связь с диалектным словом «побируха» (сума, котомка нищего) или с глаголом «побрать» (взять, собрать). В этом случае фамилия могла быть прозвищем сборщика чего-либо, например, податей или оброка. Но это уже догадки без прямых словарных подтверждений.

Однокоренных фамилий немного: Побирайко, Побирухин, Побирачев. Все они редки и несут ту же семантику — связь с просьбой, сбором или нищенством. Сословно фамилия Побирашко могла принадлежать крестьянам или казакам — в среде дворянства такие прозвища не приживались. В документах XIX века встречаются отдельные записи в метрических книгах Киевской и Подольской губерний, что подтверждает украинский ареал.

Так что, скорее всего, ваш предок не был профессиональным нищим, а получил прозвище либо за манеру часто одалживать, либо за привычку «побирать» что-то с земли. Фамилия звучит колоритно и точно не оставляет равнодушным — она из тех, что сразу рисуют образ.