Фамилия Подсонова — женская форма, а мужская — Подсонов. На первый взгляд в ней угадывается что-то «под сеном», но разбор показывает другую историю. Основа здесь — не сено, а сон. В русских говорах «подсонный» означало «находящийся под сном», то есть сонный, вялый, либо же связанный с состоянием перед сном. Однако фамилию могли образовать и от прозвища Подсон — так в некоторых регионах называли человека, который любил поспать, или, наоборот, того, кто работал в ночную смену, «под сон» других.

Суффикс -ов указывает на классическую русскую патронимическую модель: Подсонов — буквально «сын Подсона». То есть прозвище закрепилось за родоначальником, а потом перешло к потомкам. Фамилия эта редкая, её географическое ядро, судя по доступным данным, тяготеет к центральным и северным областям России — встречается в Вологодской, Костромской, Ярославской губерниях. Там слово «подсонный» употреблялось чаще, чем на юге.

Любопытно, что фамилия Подсонова не имеет отношения к топонимам или профессиональным названиям — это чисто бытовое, «домашнее» прозвище. В этом её отличие от более распространённых фамилий, образованных от ремёсел или географических названий. Если ваш предок носил прозвище Подсон, он, скорее всего, был крестьянином или посадским человеком, а его характер или привычки дали повод для такого имени. В словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна) эта модель описана как типичная для прозвищ, образованных от физических или поведенческих черт.

В написании фамилии возможны варианты: через одно «с» (Подонова) — но это уже совершенно другая история, связанная с рекой Дон. А вот вариант с двумя «с» (Подсонова) устойчиво указывает на корень «сон». В дореволюционных записях встречается и написание «Подсонновъ» — с двойной «н», что усиливает связь со словом «сонный». Так что, если вы встретили такой вариант, это не ошибка, а архаичная форма.