Фамилия Покотский — редкий пример, где основа не бросается в глаза, а суффикс подсказывает географию. Это типичная фамилия польского или западнорусского происхождения, образованная по модели «название места + -ский». В отличие от массовых Ивановых или Кузнецовых, Покотские почти наверняка ведут род от шляхты или однодворцев — тех, кто владел землёй и имел право на фамилию с дворянским суффиксом.

Корень «покот» в польском языке означает «покатость, склон, откос». Отсюда и топоним Покоты — несколько деревень с таким названием есть в исторических землях Польши (Мазовия, Подляшье) и на западе современной Беларуси. Житель такой деревни получал прозвание Покотский — «тот, кто из Покотов». В русском языке слово «покот» не прижилось, зато сохранилось в диалектах: в смоленских и брянских говорах «покотом» называли пологий спуск или укладку сена в копны. Поэтому не исключено, что основа могла быть и чисто русской, но с тем же значением — человек, живший на склоне или занимавшийся покосом.

Написание через «о» после «к» — единственно верное. Вариант «Пакатский» — ошибка, вызванная аканьем в устной речи. В дореволюционных метрических книгах фамилия встречается в Волынской и Гродненской губерниях, что подтверждает её западнорусские корни. Носители чаще всего были крестьянами или мелкими помещиками, но фамилия не утратила дворянского звучания — суффикс «-ский» даже в крестьянской среде указывал на выходцев из шляхты, потерявших статус.

Сравните с однокоренными фамилиями: Покотилов (от глагола «покатить»), Покотиленко (украинская форма) или Покотюк (белорусская). Покотский стоит особняком — он не от действия, а от места. Если ваш предок носил эту фамилию, ищите его корни не в центральной России, а в западных губерниях: на карте Польши или Беларуси почти наверняка найдётся деревня, давшая название вашему роду.