Фамилия Поседька — редкий случай, когда прозвище застыло почти без изменений, не обрастая типовыми русскими суффиксами вроде -ов или -ин. Её основа — не имя и не профессия, а, скорее всего, характеристика человека по действию или поведению. В говорах слово «поседать» или «посидеть» могло означать «сидеть долго, без дела», «мешкать», «засиживаться». Соответственно, Поседька — это тот, кто медлителен, любит посидеть в праздности или, наоборот, усидчив до неподвижности.

Суффикс -к- в фамилии указывает на то, что прозвище образовано в форме ласкательного или уменьшительного имени. Это типично для украинской и белорусской традиции, где фамилии на -ка (Шевченко, Головка) встречаются часто, но в русской среде — редкость. Поэтому географически фамилия скорее всего происходит из западнорусских земель, с границы России, Беларуси и Украины, где смешивались языковые и диалектные черты. В центральной России её бы записали как Поседов или Поседькин.

Есть и другая, менее очевидная версия. В некоторых диалектах «поседька» могло быть прозвищем человека с сединой — от слова «седой» с приставкой по-. Тогда Поседька — это «поседевший», то есть старик или человек с преждевременной сединой. Но эта гипотеза слабее, потому что для обозначения седины в прозвищах обычно использовали формы вроде Седой или Седаков, а глагольная основа «поседать» логичнее объясняет необычное окончание.

Встречаемость фамилии крайне низкая. В современных справочниках и телефонных базах она почти не фиксируется, что говорит либо о её угасании, либо о сильной локализации в одном-двух сёлах. Носителей, скорее всего, можно найти в Брянской, Смоленской или Псковской областях, а также в приграничных районах Беларуси. Фамилия не дворянская и не купеческая — её носили крестьяне или мещане, и прозвище давалось по бытовой примете, а не по роду занятий.

Таким образом, Поседька — это фамилия-прозвище, застрявшая в исходной форме. Её носитель — человек, которого в деревне дразнили за медлительность или, реже, за седину. Искать корни стоит в юго-западных говорах, а не в общерусской ономастике.