Фамилия Посвежная звучит как женская форма, но скорее всего исходная мужская — Посвежный. Такие окончания на -ый, -ой, -ий характерны для южных и западных регионов бывшей Российской империи, особенно для Украины и Беларуси. В русской традиции фамилии такого типа обычно закреплялись в форме прилагательного, отвечающего на вопрос «чей?» или «какой?».

Основа фамилии — слово «посвеж(н)». Самое прямое объяснение: от глагола «посвежить» или прилагательного «свежий» с приставкой по-. В диалектах могло означать «тот, кто недавно появился, обновился» или «человек, который приносит свежесть, прохладу». Но более вероятна связь с географическим объектом. В славянских языках «Посвежный» — это мог быть человек, живущий «по свеже», то есть у свежего источника, родника или ручья. Корень «свеж» в гидронимике (названиях рек и озёр) встречается нередко: Свеж, Свежая.

Менее очевидная, но возможная версия — отчество от прозвища Посвежа или Посвежий. В старину так могли назвать человека с румяным, «свежим» лицом, не знавшего тяжёлой работы, либо, наоборот, того, кто только что пришёл на новое место, поселился «посвеже», то есть недавно. Форма на -ный в украинских и белорусских фамилиях иногда указывает на принадлежность к местности: скажем, житель села Свежное или урочища Посвежье.

Фамилия редкая. В современных телефонных справочниках и базах данных она встречается единично, преимущественно в западных областях Украины и в Беларуси. По сословной принадлежности — скорее всего крестьянская или мещанская, поскольку дворянские фамилии на -ский/-цкий в этом регионе обычно имели другую модель. Но точных исторических записей о носителях фамилии Посвежная в открытых источниках пока не обнаружено.