Фамилия Потеляхина — женская форма фамилии Потеляхин, и её разбор стоит начать с суффикса. Модель на -ин указывает на принадлежность: Потеляхин — это «чей?» — сын или потомок человека по прозвищу Потеляха. Суффикс -ин в русских фамилиях типичен для основ, оканчивающихся на -а или -я, в отличие от -ов/-ев, которые крепятся к твёрдым и мягким согласным. Так что перед нами классическая «патронимическая» фамилия, образованная от прозвища.

Основа — Потеляха. Здесь сразу два тёмных места: корень «пот-» и суффикс -ях-. Прозвища с -ях(-а) в русских говорах часто имели экспрессивный оттенок: так называли человека по характерному действию или свойству. Например, «гуляха» — гуляка, «растяпа» — неловкий. Потеляха, вероятно, того же ряда, но что значит «потель»?

Самая прямая версия — связь с глаголом «потеть». Потеляхой в северных и центральных губерниях могли назвать человека, который много и тяжело работал, «потел» за делом, либо, наоборот, того, кто легко и быстро покрывался потом — возможно, полного или суетливого. В говорах слово «потеть» имело и переносное значение: «поте́ть над чем-то» — усердствовать, корпеть. Прозвище Потеляха могло закрепиться за крестьянином-тружеником или ремесленником, который не жалел сил.

Менее вероятная, но допустимая версия — от диалектного «поте́ля» или «поте́ль», что в некоторых областях означало «гниль», «сырость» или «плесень» (от «потеть» в значении «преть»). Тогда Потеляха — человек, живущий в сырости или имеющий дело с порчей продуктов, например, кожевник или солодовщик. Однако эта версия слабее: корень «потель-» в значении «гниль» редок и не дал устойчивых прозвищ.

Географически фамилия Потеляхин встречается в основном в центральной России и Поволжье, особенно в Нижегородской и Владимирской областях, что косвенно подтверждает её крестьянское происхождение: в этих краях активно бытовали прозвищные фамилии на -ихин/-ахин. Социально это, скорее всего, фамилия бывших государственных или помещичьих крестьян, где прозвище давалось по внешнему признаку или поведению, а не по профессии.

В итоге: Потеляхина — женская форма отчества от прозвища Потеляха, которое, вероятнее всего, означало «потливый, усердный работник». Никакой сложной аристократической истории — просто меткая народная характеристика, закрепившаяся в документе.