Фамилия Прохадская — довольно редкая и прозрачная по происхождению. Скорее всего, она связана с географическим названием, а именно с населённым пунктом Прохады или Прохадка. Такие топонимы встречаются в Беларуси и на западе России (например, деревня Проходы в Витебской области). Слово «проход» в местных говорах могло иметь значение «узкий проулок», «проход между домами» или «место, где можно пройти через реку». Житель такого места получал прозвище Прохад, а его потомки — фамилию Прохадский, которая в женском роде звучит как Прохадская.

Суффикс -ск- указывает на принадлежность к местности или роду, типичен для дворянских и шляхетских фамилий, но в данном случае мог закрепиться и за крестьянами, переселившимися из деревни с таким названием. Менее вероятная, но возможная версия — образование от личного имени или прозвища Прохад, которое могло возникнуть от глагола «прохаживаться» (гуляка, проходимец) или от устаревшего «прохад» — ходок, посыльный. Однако топонимическое объяснение выглядит убедительнее: фамилии на -ский в массе своей восходят к названиям мест, а не к прозвищам.

В дореволюционной России носители фамилии Прохадская могли относиться к мещанству или крестьянству западных губерний. Встречаемость фамилии сегодня невелика, что говорит о её локальном происхождении. Поиск по современным базам данных показывает, что Прохадские живут в основном в Беларуси и в приграничных областях России (Смоленская, Брянская). Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать корни в небольших деревнях с корнем «проход».