Фамилия Рахинские — это пример относительно редкой модели образования. В отличие от массовых фамилий на -ов и -ин, суффикс -ский указывает на связь с географическим объектом или местностью. Чаще всего такие фамилии получали выходцы из одного села или города, а также дворяне по названию своих поместий. В случае с Рахинскими основа фамилии — топоним Рахино, и такие названия встречаются в разных регионах. Например, деревня Рахино есть в Тверской и Псковской областях. Предки носителей фамилии, скорее всего, были выходцами из одного такого поселения, а сама фамилия закрепилась за их потомками как указание на «родину» — «те, кто из Рахина».

Корень «Рах-» в названии села мог иметь несколько источников. Самая прямая версия — от уменьшительной формы крестильного имени Рахиль (библейское имя, означающее «овца»). В русской простонародной традиции имя Рахиль превращалось в Раху или Рахиню, и деревня могла получить название по имени или прозвищу первопоселенца. Менее вероятно, но возможно, что основа связана со словом «рахать» — диалектным глаголом, означавшим «разевать рот, кричать» или «зевать». В таком случае прозвище Раха мог получить рассеянный или крикливый человек, а его потомки или место его проживания стали Рахиными.

Фамилия Рахинские — типично польская или западнорусская по форме. В Речи Посполитой суффикс -ский был распространён у шляхты, но в XIX веке его активно принимали и крестьяне при переходе в православие или оформлении документов. Поэтому среди Рахинских могли быть как потомки мелкопоместных дворян, владевших деревней Рахино, так и бывшие крепостные, взявшие фамилию по месту жительства. В современной России фамилия встречается нечасто, и её география (преимущественно северо-западные области) подтверждает связь с конкретными сёлами.

С точки зрения словообразования это фамилия-прилагательное во множественном числе, что характерно для фамилий польского и украинского происхождения (сравните: Завадские, Лещинские). В русской традиции закрепилась форма «Рахинские» (а не «Рахинские» с ударением на второй слог), и она не склоняется по падежам как единое целое. Если ваши предки носили эту фамилию, то ключ к их истории — в названии конкретной деревни Рахино, которую можно найти по архивным записям XIX века.