Фамилия Рапишев — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Она образована по стандартной русской модели: к основе «Рапиш-» добавлен суффикс -ев, указывающий на принадлежность («чей?» — сын Рапиша). Вопрос в том, что скрывается за этим корнем.

Самый вероятный источник — прозвище или нецерковное имя Рапиш, которое могло возникнуть от глагола «рапить» — в ряде русских говоров это означало «торопить, понукать, делать быстро». Человек, которого прозвали Рапишем, мог быть торопливым, суетливым или, наоборот, тем, кто постоянно подгонял других. Такие прозвища по характеру или манере поведения — обычное дело для русских фамилий XVI–XVII веков.

Вторая версия, менее распространённая, но не лишённая оснований, — связь с диалектным словом «рапина» (зарубка, метка на дереве) или «рапиться» (делать зарубки). В этом случае Рапишем могли назвать лесоруба, охотника или человека, который ставил метки на границах участков. В ономастике известны фамилии от схожих основ (Рапин, Рапов), но Рапишев стоит несколько особняком из-за суффикса -иш, который в прозвищах часто придавал оттенок уменьшительности или ироничности — как в словах «братишка», «парниша».

Географически фамилия тяготеет к южнорусским и волжским областям, единичные случаи встречаются в казачьих переписях. В центральных архивах XVIII–XIX веков Рапишевы фиксировались в основном как крестьяне и однодворцы. Сословно это однозначно недворянская фамилия: в «Бархатной книге» и родословных сборниках она не упоминается. Спорных версий вроде тюркского или финно-угорского корня для Рапишева нет — основа чисто славянская, хотя и редкая.