Фамилия Райимов имеет явные тюркские корни, и её разумнее всего начинать разбирать с основы — личного имени Райим. Это имя распространено у многих тюркских народов, особенно в Средней Азии, и восходит к арабскому слову «рахим» (милостивый, сострадательный). В исламской традиции это один из эпитетов Аллаха (Ар-Рахим — Всемилостивый), поэтому имя Рахим (и его фонетические варианты вроде Райим) часто давали мальчикам в надежде на божественное покровительство. Таким образом, фамилия Райимов буквально означает «потомок (или сын) Райима».

Суффикс -ов указывает на русскую модель образования фамилий, которая в XIX–XX веках активно накладывалась на тюркские имена в документах Российской империи и СССР. Для народов Средней Азии, Кавказа и Поволжья такой суффикс стал стандартным способом русификации фамилий. Если бы фамилия сохранила исконную тюркскую форму, она могла бы звучать как Райим-оглы (сын Райима) или просто Райим.

Интересно, что в русском языке буква «а» в первом слоге (Райим вместо Рахим) — это результат местного произношения. В узбекском, казахском или таджикском языках звук «х» часто смягчается или переходит в «й», поэтому имя Райим — не ошибка, а диалектная норма. Фамилия Райимов встречается преимущественно в Узбекистане, Таджикистане, а также среди выходцев из этих регионов в России. Сословно предки носителя фамилии скорее всего были крестьянами или ремесленниками, но имя Райим могло даваться и в семьях с религиозным образованием — мулл или чтецов Корана.

Однокоренные фамилии — Рахимов, Раимов, Рагимов — несут ту же смысловую нагрузку, но различаются по региональной фонетике. Если видите вариант Райимов, можно с высокой вероятностью предположить, что корни семьи — в узбеко-таджикской языковой среде, где «х» перешёл в «й».