Фамилия Разгоева образована от прозвища или нецерковного имени Разгой. Основа здесь — древнерусское слово «разгой», означавшее «разгул», «вольница», «свободная жизнь». В старину разгоем называли человека вольного, не привязанного к месту или хозяйству, бродягу или того, кто живёт в своё удовольствие, не зная забот. Прозвище давали не в укор, а скорее как характеристику — например, так могли прозвать беспокойного, непоседливого или независимого крестьянина.

Суффикс -ев указывает на принадлежность: Разгоев буквально значит «сын Разгоя». Эта модель типична для русских фамилий, образованных от основ на мягкий согласный или на -й. В данном случае исходное слово Разгой дало форму Разгоев, а не Разгойев, что характерно для упрощения в живой речи. Интересно, что фамилия могла возникнуть и от топонима — в России встречаются деревни с названием Разгой, например, в бывшей Вологодской губернии. Тогда Разгоев — это «выходец из Разгоя».

У фамилии есть и более редкая версия, связывающая её с диалектным глаголом «разгоить» — разогнать, развести в стороны. В этом случае прозвище Разгой могли дать человеку, который разводит ссоры или, наоборот, разнимает дерущихся. Однако первая версия — от значения «вольный человек» — выглядит убедительнее, так как она подтверждается и историческими записями: в документах XVII века упоминаются крестьяне с прозвищем Разгой, и фамилия Разгоев встречается в северных и центральных уездах России.

Встречается фамилия нечасто, что говорит о её локальном происхождении. Сравните с однокоренными Разгуляев, Разгильдеев — все они несут оттенок свободы, широты натуры или даже удали. Разгоевы, скорее всего, были крестьянами или посадскими людьми, возможно, из числа тех, кто осваивал новые земли на Севере или в Поволжье.