Фамилия Разгоев — редкий случай, когда основа ясна, а способ образования ставит вопросы. Большинство фамилий на -ев образовано от прозвищ или имён, оканчивающихся на мягкий согласный или -й, но здесь корень «разгой» в русском языке не встречается. Вероятнее всего, перед нами фамилия, возникшая из прозвища Разгой, которое, в свою очередь, связано с глаголом «разгонять» или «разогнать». Прозвище Разгоня (или Разгой) могли дать человеку расторопному, скорому на ногу, либо тому, кто разгонял толпу, разнимал драку, выполнял роль бойкого посыльного или пристава. В говорах слово «разгой» иногда означало «разгул, раздолье, свобода», что тоже могло стать прозвищем для вольного или бесшабашного человека.

Сложность в том, что суффикс -ев при такой основе нестандартен. Обычно от «Разгоня» мы ждали бы фамилию Разгонин, а от «Разгона» — Разгонов. Форма Разгоев указывает на то, что исходное прозвище звучало именно как Разгой, то есть с усечением конечного -н. Это характерно для диалектов, где «Разгой» — вариант «Разгон» (как «согой» от «согнуть»). Либо основа связана с тюркскими корнями, где «раз» — «раз, однажды», а «гой» — «гость» или «племя», но это менее вероятно для русской фамилии без документированных параллелей.

Географически фамилия Разгоев привязана к Северному Кавказу и казачьим областям. Много Разгоевых среди осетин и терских казаков, что не случайно: в осетинском языке есть слово «разгой» — «широкий, просторный», и фамилия могла возникнуть как осетинская, но оформленная русским суффиксом -ев. В таком случае Разгоев — это русская запись осетинской фамилии, где корень «разг» означает «простор» или «равнина», а окончание -ой или -ойта при русификации превратилось в -оев. Если же фамилия исконно русская, её носители — потомки казаков или крестьян южных губерний, где прозвище Разгой было бы понятным.

Таким образом, у фамилии два равноправных объяснения: либо она ведёт род от человека с прозвищем Разгой (расторопный, разгонный), либо это русифицированный вариант осетинской фамилии, связанной с понятием простора. Точный ответ дала бы только генеалогия конкретной семьи, но в обоих случаях фамилия редкая и нестандартная по словообразованию, что делает её интересной для ономастики.