Фамилия Регеша — редкий случай, когда географическое происхождение почти наверняка перевешивает все остальные версии. Это не русская, не украинская и не польская фамилия по происхождению. Её корни ведут в Венгрию или на запад Украины, в Закарпатье.

Основа фамилии — венгерское слово «reges» (на современном венгерском «réges»), которое означает «древний» или «ветхий». В венгерском языке это прилагательное, описывающее что-то старое, давнее. Вряд ли предок был настолько стар, что его прозвали «древним», — скорее всего, прозвище имело ироничный оттенок: так могли назвать ребёнка, который казался серьёзным не по годам, или, наоборот, старика, который выглядел молодо. Альтернативная версия — от венгерского «regesz» (певчий, сказитель), но она менее вероятна фонетически: в фамилии нет характерного шипящего «с», которое дало бы «Регеш» или «Регеши».

Суффикс «-а» в конце — типичное украинское или русинское оформление фамилии при заимствовании. Венгры в Закарпатье часто получали от соседей-русинов фамилии с этим окончанием: венгерское слово бралось, а потом русифицировалось по модели «Лаца» (от венгерского Laci), «Дьёрдя» (György) и так далее. То есть фамилия Регеша — это венгерское прозвище, которое «обрусинили» на украинский лад.

Самый вероятный сценарий: предок носителя фамилии жил в Закарпатье или в прилегающих районах Венгрии и Словакии. Он мог быть русином, который получил прозвище от венгероязычных соседей, или венгром, который перешёл в православие и сменил язык. Фамилия не дворянская и не купеческая — скорее всего, её носили крестьяне или ремесленники. Встречается она преимущественно на западе Украины, в Закарпатской области, и в среде венгерской диаспоры.

Словообразовательная модель проста: основа «Регеш» (венгерское прилагательное) плюс окончание «-а», которое в украинском языке часто маркирует существительные мужского рода (ср. «Микола», «Ілля»). Фамилия склоняется по правилам украинского языка: Регеші, Регешу, Регешу. В русском языке её обычно не склоняют, если носитель мужчина, но по правилам грамматики склонять её можно и нужно.

Другие версии — например, от румынского «rege» (король) или от еврейского имени — не выдерживают критики. Румынское слово дало бы форму «Реге» или «Регу», а еврейская версия не имеет под собой никакой ономастической базы. Фамилия Регеша — это чёткий маркер венгерско-русинского пограничья, и именно эту историю она рассказывает.