Фамилия Регежа — редкий случай, когда корень почти наверняка не славянский, а западно- или южнославянский, с возможным венгерским или румынским влиянием. В русском языке у неё нет очевидной смысловой основы, поэтому искать происхождение нужно за пределами России.

Словообразовательная модель проста: основа «Регеж-» плюс окончание -а, типичное для существительных мужского рода в ряде славянских языков (ср. польск. sędzia — судья). Суффикса -ов/-ин здесь нет, значит, фамилия не образована по самой распространённой русской модели «чей сын?» (Иван → Иванов). Это указывает либо на её более позднее закрепление в письменных источниках, либо на происхождение из среды, где фамилии складывались по другому принципу — например, из прозвищ, оставленных без изменений.

Наиболее вероятная версия: в основе лежит чешское или словацкое слово řeže (резание, резьба) или глагол řezat (резать). Тогда Регежа — прозвище резчика по дереву, мясника, или человека с острым, «режущим» языком. В польском языке есть слово rżnąć (резать), и фамилия могла звучать как Rzeża или Rzeżucha (жеруха, но в переносном смысле — едкий человек). При переходе в русскую среду произношение упростилось: мягкое «ж» заменилось твёрдым, а гласные подровнялись под привычное уху «Регежа».

Менее распространённая, но допустимая гипотеза связывает фамилию с географическим названием. В Румынии и Молдавии есть сёла с корнем Rege (от лат. rex — царь). Если предок носил прозвище «царский человек» или происходил из такого места, то при адаптации на славянской почве слово могло преобразоваться в Регежа. Однако эта версия слабее, так как не объясняет суффикс -еж-, типичный для славянских глагольных основ.

Встречаемость фамилии крайне низкая. По открытым данным, в России она фиксируется единичными случаями, преимущественно в западных областях (Брянская, Псковская) — то есть в зоне исторического контакта с белорусским и польским населением. Это косвенно подтверждает версию о западном корне: Регежа могла прийти с переселенцами из Речи Посполитой или Галиции.

По сословной принадлежности ничего определённого сказать нельзя — фамилия не попала в дворянские родословные книги и не встречается в купеческих списках. Скорее всего, это крестьянское или мещанское прозвище, которое закрепилось в качестве фамилии уже в XIX веке, когда паспортная система требовала записать человека «как слышится».