Фамилия Римшане — одна из тех, чья форма сразу выдает нерусское происхождение. Окончание -е в именительном падеже множественного числа — характерный признак латышских фамилий. В латышском языке фамилии мужчин и женщин различаются: мужская форма будет Римшанс (Rimšāns), а женская — Римшане. Поэтому, если вы встретили носителя с таким окончанием, перед вами, скорее всего, женщина.

Основа фамилии — Римш- — ведет к латышскому слову rimša или rimšis. В латышских диалектах так называли человека медлительного, вялого, флегматичного, а иногда — тихоню или увальня. Прозвище, скорее всего, давали за характер: нерасторопный, спокойный, без резких движений. Суффикс -ан- (-āns) в латышской антропонимии часто образует фамилии от прозвищ или названий качеств, выступая в роли увеличительного или просто фамильного показателя.

Географически фамилия Римшане наиболее распространена в Латгалии — исторической области на востоке Латвии. Там же встречаются однокоренные варианты: Римш, Римша, Римшан. В русской среде фамилия могла адаптироваться через суффиксацию, например, в форму Римшанов, но исходный латышский вариант сохранил свою специфику.

В словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна) эта фамилия не описывается, так как она не относится к восточнославянской модели. Её нужно искать в работах по латышской ономастике, где rimša фиксируется как прозвище со значением «медлительный». Иных версий, связывающих фамилию с литовскими или польскими корнями, нет — латышское происхождение здесь самое прямое и непротиворечивое.

Таким образом, предок-носитель фамилии Римшане — скорее всего, житель Латгалии, получивший прозвище за спокойный, неторопливый нрав. Фамилия не дворянская и не крестьянская в сословном смысле, а просто бытовая, народная, каких много в латышской среде.