Фамилия Римшев — одна из тех, где основа не бросается в глаза, и первая же догадка может оказаться неверной. На слух она кажется польской или литовской, но по словообразовательной модели — это классическая русская фамилия с суффиксом -ев, который присоединяется к основе, оканчивающейся на мягкий согласный. Суффикс -ев, как и -ов, указывает на принадлежность: Римшев — это «сын Римша» или «человек из семьи Римши».

Самая вероятная версия происхождения основы — от прозвища Римша. В русских говорах, особенно в северо-западных и псковских, «римша» могло означать ворчуна, брюзгу или человека, который постоянно недоволен. Слово это, скорее всего, звукоподражательное, близкое к диалектному «рымзать» — хныкать, капризничать. Так могли прозвать неугомонного или придирчивого человека, и прозвище закрепилось за его потомками.

Менее распространённая, но лингвистически возможная версия — связь с крестильным именем Роман. В некоторых диалектах имя Роман могли произносить как Рим, а уменьшительная форма Римша (по аналогии с Тимоша, Яша) дала бы ту же основу. Однако в этом случае фамилия Римшев была бы вариантом более частой фамилии Романов, и доказать такую связь без письменных источников сложно.

Географически фамилия Римшев редкая. Основные очаги её бытования — Псковская область и сопредельные районы Беларуси, что хорошо согласуется с диалектным происхождением прозвища. Встречаются Римшевы и в Литве, но там фамилия, скорее всего, литуанизированная форма с тем же корнем, а не прямой перенос. В дворянских родословных книгах эта фамилия не числится — её носители, вероятнее всего, были крестьянами или мещанами, и фамилия возникла не в среде высшего сословия, а в бытовой, деревенской среде.