Фамилия Римшева — женская форма, мужская — Римшев. Она образована по самой распространённой в русской ономастике модели: к основе добавили суффикс -ев, который указывает на принадлежность («чей?» — Римшев). Значит, предка носителя фамилии звали Римш.

Основа Римш- — это сокращённая форма от какого-то полного имени. Скорее всего, от канонического имени Иеремия (библейский пророк, в русском обиходе часто переделывалось в Ерёма, Ярём). Или от имени Роман — через уменьшительные варианты Ромаш, Римка, где корень мог дать Римш. В любом случае, перед нами типичный случай, когда полное имя в быту «обрубили» до двух-трёх слогов, а потом добавили патронимический суффикс.

Географически фамилия редкая, встречается в основном на западе России и в Беларуси. Это не случайно: именно в этих регионах были распространены сокращённые формы имён с окончанием на -ш (Тимош, Павел — Павлюш, и т.д.). Белорусское и польское влияние здесь чувствуется сильнее, чем, скажем, в северорусских фамилиях на -их.

Интересная деталь: если бы фамилия образовалась от полного имени Римма (женского, хотя оно и встречается у мужчин), то форма была бы Риммин, а не Римшев. Значит, основа мужская. Встречаются варианты написания с одной «м» — Ришев, но это уже другая этимология, от слова «риск» или от реки Риш.

Коротко: предки носителей фамилии Римшевы — это люди, чьего отца или деда в быту звали Римш, что было уменьшительным от Иеремии или Романа. Фамилия указывает на западные или юго-западные корни, скорее всего, на территорию современной Беларуси или Смоленщины.