Фамилия Рыбъякова — редкий пример того, как орфография может скрывать очевидную основу. На первый взгляд кажется, что перед нами вариант фамилии Рыбьякова, и это действительно так: в основе лежит прилагательное «рыбья» (рыбья кость, рыбья чешуя) или прозвище Рыбьяк. Однако написание с твёрдым знаком (ъ) в корне — не опечатка, а исторический след дореволюционной орфографии. До реформы 1918 года твёрдый знак писали после твёрдых согласных на конце приставок и в некоторых корнях перед йотированными гласными, так что Рыбъякова — это просто архаичное написание фамилии Рыбьякова, сохранившееся в документах или закреплённое в паспорте.

По сути, фамилия образована от прозвища Рыбьяк. В русских говорах «рыбьяк» — это либо человек, который промышляет рыбой, либо тот, кто напоминает рыбу внешностью или повадками (например, молчун, скользкий в общении). Суффикс -як (сравните: моряк, сибиряк) указывает на принадлежность к роду занятий или характерный признак. Затем к основе Рыбьяк прибавили стандартный патронимический суффикс -ов, получилась фамилия Рыбьяков, а женская форма — Рыбьякова. Вариант с твёрдым знаком — Рыбъякова — встречается редко, в основном у потомков тех, кто получил документы до 1918 года и чья фамилия не была исправлена при советской паспортизации.

С точки зрения географии, фамилия Рыбьяков (и её варианты) распространена в северных и центральных областях России — в Архангельской, Вологодской, Ярославской областях, где рыболовство было основным промыслом. Рыбъякова, скорее всего, локализована в тех же регионах, но встречается единично. Социальный контекст типичен для крестьянских и рыбацких фамилий: предки носителя, вероятно, были рыбаками или жили у реки и получили прозвище по занятию.

В ономастических справочниках (например, в работах Б. Унбегауна) фамилии на -яков рассматриваются как образованные от прозвищ с суффиксом -як. Рыбъякова — не исключение, но её написание делает её уникальной среди однокоренных: Рыбаков, Рыбкин, Рыболовов. Если вы встретили эту фамилию в старых метрических книгах, то перед вами, скорее всего, просто архаичная форма, а не отдельная фамилия с иным значением.