Фамилия Сагым — редкий случай в русском ономастиконе, и её происхождение почти наверняка не славянское. Чтобы понять, откуда она взялась, нужно смотреть не на типичные русские суффиксы (вроде -ов или -ин), которых в ней нет, а на тюркские корни.

Самое прямое объяснение лежит в казахском и других тюркских языках, где «сагым» означает «мой подарок», «мой гостинец» или «моя доля». Часто это слово использовалось как имя или прозвище для долгожданного или любимого ребёнка — того, кого считали даром судьбы. В этом случае фамилия Сагым — это застывшая форма личного имени, которое дали предку. Поскольку фамилия не обросла типичным русским суффиксом, можно предположить, что она либо была записана в документах в исходном виде (что характерно для народов Средней Азии, вошедших в состав Российской империи), либо её носители долгое время жили в среде, где не требовалось русифицировать окончание.

Вторая версия, менее вероятная, но возможная — связь с арабским корнем, где «сагым» может быть искажением слова «сагим» (больной, слабый). Однако в тюркской среде такое прозвище было бы скорее охранительным — чтобы отогнать злых духов от ребёнка, его намеренно называли чем-то незначительным или неприятным. Но «подарок» звучит убедительнее и встречается в антропонимике чаще.

Географически фамилия Сагым встречается в основном среди казахов, а также у татар и башкир, где подобные бессуффиксные фамилии не редкость. В русских же переписях XIX века её почти нет — это говорит о том, что в центральную Россию она попала, скорее всего, с волнами миграции из Азии или через смешанные браки.

С точки зрения словообразования, это так называемая «чистая основа» — фамилия, равная имени или прозвищу без добавления патронимического форманта. В русской традиции такой способ нехарактерен, поэтому носитель фамилии Сагым почти наверняка имеет тюркские корни, и его предок был назван «даром» или «гостинцем».