Фамилия Сагын — редкий для русской ономастики случай, когда фамилия образована не от полного имени или прозвища, а от тюркского слова напрямую, без суффикса. В русском языке такие фамилии называют «неоформленными» или «чистыми основами»: они не имеют типичных окончаний -ов, -ин, -ский. Это сразу указывает на то, что носитель фамилии или его ближайшие предки были тюркоязычными, и фамилию записали в том виде, в каком её произносили.

Основа фамилии восходит к тюркскому корню «сагын» (sagyn), который в разных языках (казахском, киргизском, татарском, башкирском) означает «тоска», «томление», «дума», «воспоминание». В казахском и киргизском слово «сағыну» (sagynu) — это глагол «скучать», «тосковать». Таким образом, прозвище Сагын могли дать человеку задумчивому, склонному к размышлениям или меланхолии. Встречается также значение «драгоценный», «желанный» — в этом случае имя Сагын давали долгожданному ребёнку, которого ждали с тоской.

Географически фамилия Сагын распространена в основном среди народов Центральной Азии: у казахов, киргизов, отчасти у башкир и татар. В русском контексте она могла появиться у потомков оренбургских или сибирских казаков, которые смешивались с местным населением, либо у выходцев из Средней Азии, получивших паспорт с записью фамилии по отцу или по имени. Встречается и написание Сагынбаев, Сагынов — с добавлением типичных суффиксов, указывающих на принадлежность роду.

Интересная деталь: фамилия Сагын не имеет ничего общего с русским словом «саги» (древние германцы) или «сага» (скандинавское сказание), хотя внешне похожа. Это чисто тюркская лексика, и попытки вывести её из славянских языков ошибочны. Если ваш предок носил фамилию Сагын, скорее всего, он был выходцем из кочевых степных народов, и его имя или прозвище отражало либо характер, либо обстоятельства рождения.