Фамилия Сагай почти всегда отсылает к этническому прозвищу предка, а не к имени или ремеслу. Сагайцами называли тюркский народ, живший между Алтаем и Енисеем; в дореволюционных документах это имя нередко применяли и к хакасам в целом. Так что предок, получивший такую фамилию, скорее всего, был выходцем из Южной Сибири либо имел заметные внешние или языковые черты, за которые земляки закрепили за ним это прозвище.

Сам этноним «сагай» исследователи обычно возводят к тюркскому корню «саг» — «здоровье, здоровый». Версия правдоподобная: в тюркских языках этот корень широко представлен и в личных именах, и в названиях родов, где пожелание здоровья или силы становилось основой самоназвания. Слабее выглядит попытка связать слово с географическим термином — убедительных параллелей в топонимике Алтая и Саян для неё не находится.

Модель образования простая: прозвище Сагай без дополнительных суффиксов перешло в фамилию в форме, типичной для украинской и южнорусской традиции. Обратите внимание: здесь нет привычного -ов или -ин, что указывает скорее на казачью или крестьянскую среду, где прозвища нередко закреплялись целиком. Встречаются и варианты с русским окончанием — Сагаев, но форма Сагай сохранила исходный облик и потому легче читается как прямое указание на этничность.

География фамилии сегодня шире, чем можно предположить по сибирскому корню. Сагаев и Сагай встречаются на Урале, в Поволжье и в Сибири, что отражает переселенческие потоки XIX века, когда крестьян и казаков переводили на новые земли. Встречается фамилия и у украинцев, где слово «сагай» могло осмысляться иначе — как прозвище бойкого или шустрого человека, но эта версия вторична и не имеет под собой прочной ономастической основы.

Известных носителей с уверенностью назвать трудно — фамилия редкая и не попала в громкие справочники. Зато она сохранила живую память о малочисленном народе, который почти растворился среди хакасов, оставив след в фамилиях, топонимах и родословных. Для потомка Сагаев такое прозвище — не случайный ярлык, а указание на конкретный уголок Сибири, где его предки говорили по-тюркски и называли себя по роду.