Фамилия Сагайко образована по модели, характерной для западных и южных регионов: суффикс -ко указывает на украинское или белорусское происхождение. В этих языках -ко — уменьшительный или патронимический суффикс (буквально «маленький», «сын такого-то»). Основа «Сагай-» может быть как прозвищем, так и производной от личного имени.

Наиболее вероятная версия — от прозвища Сагай. В украинских говорах «сагай» — диалектное название птицы, возможно, сойки или другой лесной пташки. Прозвища по птицам были распространены: они давались за сходство в поведении (крикливый, суетливый) или внешности (пёстрый, с яркой деталью). Менее распространённая гипотеза связывает основу с тюркским «сагай» — названием одного из родов хакасов, но для украинской фамилии это маловероятно: тюркские заимствования в прозвищах чаще встречаются на юге России, а не на западе.

Встречается также версия, что Сагайко — форма от имени Сагай, которое могло быть народным вариантом крестильного имени Сергий (через промежуточные формы вроде Сергай). Однако это спорно: суффикс -ай в украинской антропонимии редко образует уменьшительные от церковных имён, чаще — от прозвищ.

Географически фамилия тяготеет к западу Украины и югу Беларуси. В старых метрических книгах Сагайко встречается в Волынской и Гродненской губерниях, реже — на Полтавщине. Социальный состав носителей — преимущественно крестьяне и казаки: в реестрах Войска Запорожского XVII века фигурируют однофамильцы, но без точной привязки к современной фамилии.

Коротко: Сагайко — украинская фамилия от прозвища Сагай (вероятно, «птица» или «крикливый человек») с типичным суффиксом -ко, означающим «сын Сагая» или «маленький Сагай».