Фамилия Сатай — редкий для русской ономастики случай, когда перед нами, скорее всего, не переоформленное тюркское имя, а фамилия, образованная напрямую от личного имени без какого-либо русского патронимического суффикса. Это сразу отличает её от подавляющего большинства русских фамилий на -ов, -ев или -ин.

Основа фамилии — мужское имя Сатай. Оно широко распространено у тюркских народов: у казахов, башкир, татар, киргизов. Этимология имени прозрачна: оно восходит к тюркскому слову «сат» — «продавать» или «торговать». Таким образом, имя Сатай можно перевести как «продавец», «торговец», «тот, кто занимается куплей-продажей». В прошлом такие имена могли давать в семьях купцов или просто как пожелание удачи в торговых делах. Встречается и вариант толкования от «сат» в значении «дар», «подарок», но версия с торговлей считается основной.

Самое интересное в фамилии Сатай — её морфология. В русской традиции фамилии инородцев часто русифицировали, добавляя окончания: Сатаев, Сатаин. Но форма Сатай — это чистая основа, застывшая без изменений. Такое возможно в двух случаях: либо фамилия была записана в документах именно так, без переделки (что характерно для поздних записей, когда фамилии уже устоялись), либо она принадлежит к пласту фамилий, принесённых в русский язык из среды, где патроним не оформлялся суффиксом. В любом случае, фамилия Сатай — это прямой «слепок» с тюркского имени.

Географически фамилия встречается в регионах с тюркским населением: в Татарстане, Башкортостане, Оренбургской области, а также у казахов. Среди русских она практически не фиксируется, что подтверждает её «неассимилированный» характер. Сословно носители фамилии могли быть и крестьянами, и мещанами, и торговцами, но чаще всего — выходцами из тюркских народов, получившими фамилию по отцу.

Таким образом, фамилия Сатай — это не просто фамилия, а готовое личное имя, которое стало наследственным. Она не несёт в себе следов русского словообразования и является прямым свидетельством межэтнических контактов, когда имя предка перешло в фамилию в своём исходном виде.