Фамилия Савощев — наглядный пример того, как простое прозвище или имя обрастает суффиксами и становится родовым знаком. В её основе лежит имя Савва или его производная форма Савостьян (от греческого «саббатос» — суббота, то есть «рождённый в субботу»). Однако между исходным именем и современной фамилией произошло типичное для русской ономастики фонетическое изменение: звук «в» в корне перешёл в «щ». Сравните с фамилиями Савощев и Савостьянов — они однокоренные, но первая прошла через стадию «Савость» → «Савощ», где «сть» смягчилось до «щ».

Модель образования проста: к основе «Савощ» добавили суффикс принадлежности -ев (вариант -ов после мягкого согласного). В XV–XVII веках так формировали притяжательные прилагательные: «Савощев» означало «сын Савоща» или «человек из семьи Савоща». Само прозвище Савощ — это усечённая форма от имени Савостьян, распространённая в северных и центральных губерниях России. В документах XVII века встречаются крестьяне с именем Савостьянко, а в быту их звали Савощем — так же, как Ивана могли называть Иванцом.

Географически фамилия тяготеет к регионам, где было сильно влияние новгородских и псковских говоров: Вологодская, Архангельская, Костромская области. В этих краях «щ» часто заменяло мягкие сочетания «ст» и «ск» (например, «пуща» вместо «пусть»). Поэтому Савощев — не столько южная или московская фамилия, сколько северная, с характерным звуковым сдвигом.

Сословный состав носителей был пёстрым. В переписных книгах XVIII века Савощевы значатся как государственные крестьяне и однодворцы (в Курской губернии), а в XIX веке — как мещане и купцы третьей гильдии в уездных городах. Редко, но встречались и дворяне, получившие фамилию по поместью — однако таких случаев единицы, и они не образуют устойчивого рода.

Спорных версий происхождения немного. Иногда основу Савощ пытаются связать с диалектным словом «савощ» — якобы так называли неуклюжего человека. Но это поздняя народная этимология: ни в одном словаре русских говоров (ни у Даля, ни в диалектологических сборниках) такого слова нет. Гораздо правдоподобнее, что перед нами просто фонетически изменённое имя, и никакой дополнительной семантики в основе не было.