Фамилия Савцовы — это классическая русская отчество-фамилия, образованная от личного имени. В её основе лежит имя Савец, которое в старину было уменьшительно-ласкательной формой имени Сава или Савва. Суффикс -ец здесь играет роль «уменьшителя»: буквально Савец — это «маленький Сава», то есть сын Савы. Со временем форма «сын Савца» закрепилась как фамилия Савцов, и так потомки человека по имени Савец получили своё родовое прозвание.

Само имя Сава — это народная, разговорная форма церковного имени Савва. С еврейского оно переводится как «старец» или «дед», что указывает на мудрость и почтенный возраст. По другой, менее распространённой версии, Сава — это сокращение от имени Савватий, которое означает «субботний» или «родившийся в субботу». Обе версии имеют право на существование, но первая выглядит предпочтительнее: имя Савва было широко распространено на Руси, а Савватий встречалось реже.

Имя Савва носили многие почитаемые религиозные деятели, что добавляло имени вес и популярность. Среди них Савва Освященный, автор Иерусалимского устава, Савва Сербский, сын Стефана Немани, и Савва Сторожевский, основатель Саввино-Сторожевского монастыря в Звенигороде. Благодаря таким носителям имя Савва прочно ассоциировалось с благочестием и святостью, поэтому и производные от него формы охотно использовали для наречения детей.

Модель образования фамилии Савцов типична для русского ономастикона: притяжательный суффикс -ов присоединялся к основе на -ц, давая ответ на вопрос «чей ты будешь?» — Савцов, то есть из рода Савца. Такая схема встречается у множества русских фамилий, что делает Савцовых частью большого пласта фамилий, возникших из народных форм крестильных имён.

Точное время и место возникновения фамилии Савцовы установить сложно: фамилии формировались постепенно, на протяжении нескольких столетий, и закрепились в разных регионах независимо друг от друга. Однако сам факт её существования говорит о живом процессе имянаречения, который шёл в русских деревнях и городах. Сегодня фамилия Савцовы встречается в разных частях России, и её носители, сами того не подозревая, хранят память о далёком предке, которого в быту звали просто Савец.