Основой фамилии Савцова послужило церковное имя Савва или Савватий. Вероятно, именование Савец получил сын человека по имени Сава, то есть «маленький Сава» (суффикс -ец в данном случае имеет уменьшительное значение). Само имя Сава может быть вариантом имени Савва, которое предположительно переводится с еврейского как «старец, дед». По другой версии, имя Сава — производная форма имени Савватий (от еврейского «субботний, родившийся в субботу»). Скорее всего, основатель рода Савцовых был человеком из простого сословия. Таким образом, потомок человека, обладающего именем Сава, со временем получил фамилию Савцова.