Фамилия Савцова образована от имени Сава, которое, в свою очередь, восходит к церковному имени Савва или Савватий. Именование Савец, ставшее основой фамилии, скорее всего, получил сын человека по имени Сава — суффикс -ец здесь несет уменьшительное значение, то есть «маленький Сава». Само имя Сава может быть краткой формой имени Савва, которое предположительно переводится с еврейского как «старец, дед». По другой версии, Сава — производная форма имени Савватий, означающего «субботний, родившийся в субботу».

Вторая версия выглядит правдоподобнее: на Руси имена Савва и Савватий часто употреблялись в обиходе как Сава, и различить, от какого именно полного имени произошла конкретная форма, почти невозможно. Обе версии одинаково допустимы, и в случае с фамилией Савцова они не противоречат друг другу: в основе лежит народная форма канонического имени.

Скорее всего, основатель рода Савцовых был человеком из простого сословия. Фамилии с суффиксом -ов/-ев в русской традиции получали по имени отца, и Савцовы не исключение. Потомок человека по имени Сава, которого в семье или на селе звали Савец, со временем стал Савцовым. Такая модель типична для крестьянской и посадской среды, где отчества и прозвища закреплялись за родом без участия официальной геральдики.

Любопытно, что фамилия Савцова встречается реже, чем однокоренные Саввов, Савин или Савкин. Это объясняется именно суффиксом -ец, который в фамилиях встречается нечасто и обычно указывает на местное, диалектное происхождение прозвища. В северных и центральных говорах форма «Савец» звучала естественнее, чем в южных, поэтому географически фамилию можно связать с этими регионами, хотя точных данных о месте возникновения рода нет.

Стоит учесть и то, что написание Савцова с буквой «ц» — результат естественного фонетического перехода: сочетание «вец» в произношении упрощалось до «вц». Это же явление мы видим в фамилиях типа Жуковец — Жуковцов, где исходная форма имени или прозвища сохранилась лишь в документах, а в живой речи закрепился более короткий вариант.