Основой фамилии Савцов послужило церковное имя Савва или Савватий. Фамилия Савцов образована от имени Савец, которое получил сын человека по имени Сава, то есть «маленький Сава» (суффикс -ец в данном случае имеет уменьшительное значение). Само имя Сава может быть вариантом имени Савва, которое предположительно переводится с еврейского языка как «старец, дед». По другой версии, имя Сава — производная форма имени Савватий (от еврейского «субботний, родившийся в субботу»). Имя Сава (Савва) носили многие религиозные деятели: Савва Освященный, христианский святой, автор Иерусалимского устава; Савва Сербский, христианский святой, сын Стефана Немани; Савва Сторожевский, основатель и первый игумен Богородице-Рождественского (Саввино-Сторожевского) монастыря в Звенигороде. Таким образом, потомок человека, обладающего именем Савец, со временем получил фамилию Савцов.