Фамилия Саырыгин — редкий случай, когда написание сразу ставит вопрос. В русском языке нет исконных корней с сочетанием «ыы», и это главная зацепка. Скорее всего, перед нами фамилия, возникшая на стыке культур, где исходное слово записывалось на другом языке, а затем было адаптировано русским письмом.

Вероятнее всего, основа фамилии — тюркская. В тюркских языках, например в якутском или алтайском, часто встречаются долгие гласные и гортанные звуки, которые на кириллице передают двойным «ы». Слово «сары» (sary) в большинстве тюркских языков означает «жёлтый», «бледный», «светлый». Удвоение «ы» в корне могло возникнуть при попытке передать долготу гласного, которую русский язык не различает. Таким образом, «Саыры» могло быть прозвищем человека со светлыми волосами или кожей, что для тюркских народов было отличительной чертой. Суффикс «-гин» — это русский патронимический суффикс «-ин», присоединённый к основе. Фонетически закономерно: после гласного «ы» суффикс «-ин» даёт «-гин» (как в фамилиях Батыгин, Курыгин). Получается: «сын того, кого звали Саыры (Сары)».

Вторая версия, менее вероятная, но допустимая, — фамилия могла возникнуть от монгольского слова «саары» (saari) — «тихий», «спокойный». В этом случае написание с двумя «ы» — результат буквальной транслитерации. Однако тюркская версия с цветом встречается в фамилиях гораздо чаще.

Географически фамилия Саырыгин должна быть привязана к регионам, где русские фамилии давали тюркам или где тюркское население активно входило в состав Российской империи: Сибирь (Якутия, Алтай), Поволжье (татары, башкиры), Средняя Азия. Если ваши предки из этих мест, версия с «жёлтым» или «светлым» прозвищем — основная.

Обратите внимание на однокоренные фамилии: Сарыгин, Сарычев. Они тоже идут от тюркского «сары», но записаны без удвоения. Саырыгин — более точная фонетическая запись, которая не успела «обрусесть» до привычного варианта. Это делает фамилию ценной для историков языка: она сохранила след произношения, который в других фамилиях стёрся. Социальный статус носителей такой фамилии, скорее всего, был крестьянским или казачьим — фамилии на «-ин» в этой среде преобладали.